2+2=0

[jorgeston]

Bueno, hola a todos :tonto:

 

Este tema lo inicio para mostrar la posibilidad de que decir que 2+2=0 tiene sentido. Y no hay nadatrucho, falso, algo mal hecho, división por cero, y weas faraduleras tipicas por el estilo.

 

Empezemos preguntándonos. ¿Que es sumar?

 

Cuando eramos niñitos de básica, y nos decian 2+2 uno tenia dos porotitos, agregaba dos porotitos mas, y asi teníamos 4 porotitos. Asi deciamos, que 2+2=4.

 

Ahora, sabemos que los numeros naturales los podemos ubicar en la recta , uno detras del otro. Entonces, la suma tiene la siguiente representación gráfica:

 

 

O sea, parto del 2, le agrego uno, llego al 3, luego agrego otro y asi llego al 4, luego 2+2=4.

 

Ya, todo lo visto hasta ahora lo sabemos.

 

Pero , ¿que pasa si "cambiamos" el mundo donde estamos trabajando?

 

por ejemplo, consideremos un sistema "reloj":

 

 

¿cuanto es 2+2? Partamos del 2. Agregamos uno, y llegamos al 3 (2+1=3) . Ahora, sumemos uno mas, y llegamos al 0. O sea, 2+2=0 :

 

 

Por lo tanto chiquillos, todo depende de la estructura algebraica de la que estemos hablando!

 

Cuanto les pregunten , cuanto es 2+2, deben responder " depende de la estructura algebraica que estemos considerando"

 

De todas maneras, esta es la presentación " coloquial" de esto. Obviamente la cosa es mas fundamentada: Esta estructura , el reloj mas la suma, es el denominado grupo de los enteros modulo 4 con la suma usual y solo tiene 4 elementos: {0,1,2,3} y cada uno de esos elementos, son clases de equivalencia respecto a la relación modulo, que tiene que ver con el resto que deja dividir por 4 (No tiene sentido que me alargue en esto) .

 

Bueno, eso, espero que el tema sea de su agrado.

 

saludos

Edited April 16, 2011 by GireBz

[Manzana]

eso lo enseñan en algebra lineal.

wena, bien didactica la explicacion.

[Victor]

en estricto rigor es raro aplicar tu suma circular, porque asi como lo entiendo yo, no sigue una linea... si quisiera sumar 3+3=6 le coloco 6 puntas al circulo y obtengo un resultado idem, y asi sucesivamente... inclusive, en tu circulo 2+6 tambien sería 0

 

no se, es como bien raro

 

 

hay otras cosas matemáticas que si me llaman la atención porque siguiendo conductos regulares de la aritmetica y algebra se obtienen resultados contradictorios en todo sentido

[jorgeston]

en estricto rigor es raro aplicar tu suma circular, porque asi como lo entiendo yo, no sigue una linea... si quisiera sumar 3+3=6 le coloco 6 puntas al circulo y obtengo un resultado idem, y asi sucesivamente... inclusive, en tu circulo 2+6 tambien sería 0

 

 

Si quiero sumar 3+3 en la estructura que presenté ( modulo 4) , me daria 3+3=2

 

SI quiero sumar 2+2 en la estrcutura de "6 puntas" (que seria modulo 6) me daria simplemente 4

 

Ahora , en mi circulo, decir 2+6 no tiene sentido porque el 6 "no existe". pero si tiene sentido decir (2+3)+3, que obviamente es 0.

 

Para simplificarse la vida, y no mirar el circulo cuando quiero sumar, es mejor hacer esto:

 

2+2 es 4 en la "vida real". Pero el resto que deja dividir 4 por 4, es 0, entonces 2+2=0 en el mundo circular de 4 puntas.

 

Si quiero hacer un 3+3 en el mundo de 4 puntas (modulo 4), como se que 3+3=6 en la "vida real", y 6 al dividirlo por 4, me deja resto 2, entonces 3+3=2 en el mudno de 4 puntas.

 

Obviamente con 6 puntas, 3+3=0 pues 6 es divisisor exacto de 6...

 

Y finalmente, (2+3)+3 en modulo 4, como equivale a 8 en la vidareal, y 8 es mutiplo de 4, entonces deja resto 0 y asi (2+3)+3=0 en modulo 4

 

saludos :paco:

 

PD: Con vidareal me refiero a los reales con la suma usual, o sea, lo que toda la vida hemos hecho "normalmente"

Edited May 25, 2009 by jorgeston

[21st Century Man]

Interesante. ¿Qué estructura algebraica tendría este conjunto?. ¿Podemos definir una multiplicación?.

 

Me parece que la suma sería cerrada, conmutativa, asociativa y tendría elemento neutro. También tendría elemento inverso (el inverso del 0 sería el 0, del 1 sería el 3, del 2 el 2, y del 3 el 1).

 

Si usáramos la multiplicación habitual, tendríamos:

 

2x1=2

2x2=0

2x3=2

 

 

Es claro que no habría una operación inversa, ya que 2x1 y 2x3 dan el mismo resultado. Pero sería conmutativa, asociativa y tendría elemento neutro. Distributiva también es. No sé como se llama la estructura que cumple esas propiedades :tonto: algo así como anillo conmutativo.

 

Bueno, ese fue mi aporte :tonto:

[jorgeston]

Interesante. ¿Qué estructura algebraica tendría este conjunto?. ¿Podemos definir una multiplicación?.

 

Me parece que la suma sería cerrada, conmutativa, asociativa y tendría elemento neutro. También tendría elemento inverso (el inverso del 0 sería el 0, del 1 sería el 3, del 2 el 2, y del 3 el 1).

 

Si usáramos la multiplicación habitual, tendríamos:

 

2x1=2

2x2=0

2x3=2

 

 

Es claro que no habría una operación inversa, ya que 2x1 y 2x3 dan el mismo resultado. Pero sería conmutativa, asociativa y tendría elemento neutro. Distributiva también es. No sé como se llama la estructura que cumple esas propiedades :tonto: algo así como anillo conmutativo.

 

Bueno, ese fue mi aporte :tonto:

 

Claro, si defines esa multiplicación en esa estructura primitiva, estariamos en un anillo conmutativo. Como 4 no es primo, entonces no existe elemento inverso para la multiplicación.

 

Por otro lado, las estructuras Z_p (Enteros modulo p) con p primo con suma y producto, son cuerpos, pues existe elemento inverso para la multiplicacion

 

saludos

 

[Alvaro_chi]

Me gusto el tema este, re interesante y da para seguir pensando en ello :mmm:

[Ainchtain]

recuerdo haber visto por ahi cosas de congruencia modolo sapiando algunos libros :hide: pero no tenia idea que podia tener esta aplicacion :blink:

 

muy weno el aporte, no tenia idea de la existencia de este tipo de estructuras algebraicas :bravo:

[Cenit]

Bien

 

Existen miles de sistemas numericos que podemos inventar, pero tu creaste uno mas, simplemente es otro sistema es valido igualmente pero nunca se masificara :P

 

como que no?

 

un reloj analogo te presenta un sistema de modulo 12

 

cuando son las 23 horas, y te dicen "juntemonos en 2 horas mas" , sabes que te juntaras a las 1 de la mañana

 

O sea, 23+2=1 ( como es modulo 12, y 23+2=25 en la "vida real" y 25 dividirlo por 12 deja resto 1, entonces en modulo 12 tenemos 23+2=1 ;)

 

¿como que nunca se manifestará? no sea tan cerrado, futuro medico

 

:cafe:

 

_______________________

Está bueno el analisis.

 

es como decir.

 

10hrs+2hrs=0hrs :uy:

 

segun el reloj

Edited May 25, 2009 by Cenit

[Ainchtain]

Bien

 

Existen miles de sistemas numericos que podemos inventar, pero tu creaste uno mas, simplemente es otro sistema es valido igualmente pero nunca se masificara :P

 

si la memoria no me falla, esto tiene aplicaciones en criptografia clásica :P

(creo que por fin entendí como funcionaba la cosa :tonto:)

 

 

 

supongamos que estamos en una estructura modulo 2 con la suma habitual y que tengo un mensaje "M" y una llave "K"

 

M = 110001101010100001

 

K = 111001110011100111

 

 

si al mensaje "M" le sumo la llave K, obtengo mi mensaje encriptado M2

 

M + K = M2 = 001000011001000110

 

para desencriptar el mensaje es necesario conocer la llave K, para asi poder sumársela y recuperar el mensaje original

 

M2 + K = 110001101010100001 = M

 

creo que se masifico hace rato ya compadre

 

 

saludos :banana:

 

 

PD: como que está diciendo a gritos que esto es de vital importancia en todo a lo que se refiere a sistemas de informacion y cosas de ese estilo

Edited May 25, 2009 by kof