Formas de Demostración

[Alvaro8913]

Hola Chicos,

 

Les escribo para que me den sus opiniones sobre cómo demostrar, ya que he leido definiciones pero siento que aun no me convence del todo.

 

Mi duda es la siguiente:

 

Cuando demuestro algo (ya sean en propiedades de valor absoluto, axiomas de los reales, estadística, Álgebra lineal etc), lo puedo hacer de la forma que quiera (obviamente siempre que cada paso estén sustentados por teoremas definiciones etc)?

 

De antemano, muchas gracias.

 

 

[Luxo0x0]

Si es que la demostración es convincente y no presenta ninguna paradoja o contradicción, puedes hacerlo de la forma que quieras (contradicción, contrapositivo, etc...).

 

Veamos algunos ejemplos

 

1. Sabemos que el neutro aditivo (el cero, 0) es único, pero esta unicidad no es un axioma como tal, por, ende requiere demostración.

 

Hagamosla por contradicción, o sea, suponiendo que existe otro neutro aditivo distinto al cero.

 

i. Sean , ambos neutro aditivo, tal que .

 

ii. Como ambos son neutro aditivo, tenemos que

 

Cada uno actúa como el neutro aditivo del otro.

 

iii. Debido a esto, por transitividad tenemos que , lo que implica una contradicción, porque habíamos supuesto que eran distintos.

 

Por lo tanto, el neutro aditivo es único. (LQQD).

 

 

2. Demostración por inducción.

 

Determinemos la suma de los n primeros naturales, nuestra hipótesis será.

 

i.

 

ii. Ahora, suponemos cierto nuestra hipótesis, o sea

 

iii. Ahora debemos demostrar que

 

Como supusimos cierta nuestra hipótesis, podemos decir que

 

Por lo que

 

[Alvaro8913]

Gracias

Luxo0x0

[GireBz]

Si se trata de aprender un montón de técnicas de demostración, yo siempre recomiendo el libro Lógica y Teoría de Conjuntos de Carlos Ivorra

 

http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.pdf

 

 

Otro libro que también es bueno, aunque con un enfoque ligeramente diferente, es A First Course in Logic, de Shawn Hedman, pero está en inglés y no tengo el link en este momento.

 

Con cualquiera de esos dos puedes aprender todo lo importante sobre las demostraciones matemáticas.

Edited October 17, 2015 by GireBz