Ayuda con Máximo y mínimos con Derivadas Parciales

[Ţħæ √æ®√æ™]

Amigos, en realidad ni idea como se sigue el ejercicio, es con derivadas parciales de 3 variables.

 

¨Hallar en el espacio el punto del plano 2x +3y -z = 1 que sea más próximo al origen¨

 

Se que esta en función de una distancia de 3 puntos que es: distancia= (x² +y²+z²) ^1/2

pero ocupamos mejor [según el profe] (x² +y²+z²) , por lo tanto queda :

 

F= x² +y²+z² despejamos z de 2x+3y-z=1 , entonces queda z=2x+3y-1 y reemplazamos en:

 

F= x² +y²+z² entonces queda: F= x² +y²+ (2x+3y-1)²

 

al seguir trabajando la función queda F= x² +y²+ 4x²+ 12xy - 4x + 9y²- 6y +1

 

quedando: F= 5x² +10y² +12xy -4x -6y +1

 

de ahí se sacan las derivadas parciales :

 

aF/ax ₌ 10x +12y -4 aF/ay ₌20y +12x -6

 

después se igualan a cero 10x +12y -4 = 0 20y +12x -6 = 0

 

se forma el sistema de ecuaciones 12x + 20y -6 = 0

10x +12y -4 = 0

 

hasta ahí llegamos, hay que determinar si son mínimos los puntos criticos con algo del discriminante, no tengo ni idea :(.

 

Gracias de antemano.

Edited November 17, 2012 by Ţħæ √æ®√æ™

[cañangasñangas]

Si la funcion en cuestion es: f=5x²+10y²+12xy-4x-6y+1

 

debes sacar las derivadas

 

aF/ax = 10x+12y-4

aF/ay = 12x+20y-6

 

Igualamos a 0:

 

10x+12y-4 = 0

12x+20y-6 = 0

 

Soluciones:

 

x = 1/7, y = 3/14

 

Punto.Critico.= P.C. : (1/7, 3/14)

 

 

Luego sacar las 2da derivadas parciales:

 

a²F/axax = 10

a²F/axay = 12

 

a²F/ayax = 12

a²F/ayay = 20

 

Discriminante = D

 

D = F_xxF_yy-F_xyF_yx

D = 10*20 - 12*12 = 200-144 = 56

 

Como En P.C.

 

F_xx > 0

F_yy > 0

D > 0

 

PC minimo local.

Edited November 19, 2012 by cañangasñangas

[Ţħæ √æ®√æ™]

Gracias, eres un maestro :D ,me quedo todo clarísimo. Agradezco tu disposición para los que nos cuesta la matemática.