Calcular areas de triangulos facilmente

[bestianx]

Hola amigos matemáticos del foro, aquí les dejo una especie de metodo para calcular areas de triángulos conociedo las coordenadas de sus vértices.

(este metodo es un poquito básico y va dirigido mas a los estudiantes de enseñanza media pero nunca está de mas saberlo)

 

Bueno tomamos en nuestro plano cartesiano y triangulo cualquiera de vértices A(a,b) B(c,d) y C(e,f)

 

 

luego los dividimos en 3 triángulos rectangulos rectangulos para calcular el area mas facilmente.

 

 

Finalmente Tomamos la suma de estas 3 areas y se las restamos al area del cuadrado que comprende a estos triángulos, o sea.

 

 

y obtenemos nuestra función area:

 

 

si bien, ustedes diran que es muy larga y poco practica, ahora recurrimos a un truquito de tomar a=0 y b=0, es decir, trasladar el triángulo al origen.

 

y nos queda:

 

 

que despues de un desarrollo algebraico(no creo que sea necesario ponerlo) nos queda:

 

y dejandolo un poco mas formal:

 

 

que sería lo mismo que

para los que caxan matrices (|X| sería el determinante de la matriz) :tonto:

 

pero bueno, tonces en resumen, tomamos nuestro triángulo, aplicamos un vector traslación a algun vértice para trasladarlo al origen y luego aplicamos el mismo vector a los otros 2 vértices, luego reemplazamos y tadaaaaa!

tenemos el area :bravo:

 

veamos un ejemplo

tomemos un problema de un usuario que preguntó en "resuelve tus dudas"

 

Bueno mi duda no es tan complicada, pero no me sale este ejercicio El área del triángulo con vértices en los puntos A(3,4) , B(-3,-1) y C(1,-3) Se Supone q es 16, pero a mi no me sale

Saco las distancias entre los puntos y me dan las sgtes

Luego no cacho bien q hacer xD

 

tiene un triángulo de vértices A(3,4) , B(-3,-1) y C(1,-3)

 

apliquemos el vector traslación V(-3,-4) a los vértices.

y tenemos ahora A'(0.0) B'(-6,-5) y C'(-2,-7)

 

tonces tenemos segun nuestra función area A=[(-6 x -7) - (-5 x -2)]/2 = ( 42-10)/2 = 32/2 = 16 y efectivamente está correcto

 

bueno, espero esto les sea util y haya quedado clara la "demostración?"!!

 

Adios :banana:

Edited October 24, 2010 by Kofsoen Sifen

[Profesorx]

Gracias por el aporte.... :-)

Edited September 23, 2010 by HuGo!

[kreat666]

Buen aporte.

Solo quería agregar puedes evitarte la traslación pero a cambio tienes que calcular un determinante de 3x3

Por ejemplo si los vértices son:

(a1 , a2)

(b1 , b2)

(c1 , c2)

el área es

 

verifiquemos con el ejemplo:

 

Este determinante tampoco es difícl de sacar, por cofactores en la tercera columna. Pero en general preferiría usar el método que tú pusiste :ROLF:

(si el determinante da negativo hay que tomar valor absoluto)

Edited April 29, 2010 by kreat666

[Niferarg]

Gracias por el aporte, sirve mucho.

[Dr. Maui]

Buen aporte.

Solo quería agregar puedes evitarte la traslación pero a cambio tienes que calcular un determinante de 3x3

Por ejemplo si los vértices son:

(a1 , a2)

(b1 , b2)

(c1 , c2)

el área es

 

verifiquemos con el ejemplo:

 

Este determinante tampoco es difícl de sacar, por cofactores en la tercera columna. Pero en general preferiría usar el método que tú pusiste :ROLF:

(si el determinante da negativo hay que tomar valor absoluto)

 

Me gusta mas esa, por que si quieres calcular la superficie de una forma geometrica irregular en 2D (por ejemplo la superficie de un pais), una buena aproximaciones trianguarizar esa superficie y aplicar la formula anterior, asi como en elementos finitos, que en algun paso involucra el calculo del area de cada triangulito y se hace de esa manera, o bien de la anterior, ocupando una funcion de traslaci'on.

 

Saludos.

 

PD. Ver Remarks around 50 lines of Matlab: short finite element implementation

Edited May 11, 2010 by Dr. Maui

[zoombras]

gracias por el aporte justo estaba buscando la fórmula de determinar el area con los puntos medios del triangulo O:

[XinoWuantanKlan]

Muy bueno compañero grasias.

[Clowny]

Gracias, pero gual es un poquito largo el proceso. xD

[Hero.SP]

Está "ingenioso", también se puede hacer con Riemman o Integrales D:

 

 

[Jin_xP]

Mmmm pero esto lo pasan en calculo po :S... no es nada controversial... =S no cacho xD :tonto: